| Etude de cas : 1) Rester sous l’influence de la gravitation
terrestre
Vitesse de satellisation Vs (Vs est
également appelée première vitesse cosmique)
Pour satelliser un engin spatial sur
une orbite elliptique, il suffit que sa vitesse d’injection ne dépasse pas la
vitesse de libération (cf. paragraphe suivant)
Il faut ajouter des contraintes
géométriques évidentes liées au volume de la Terre : l’ellipse représentant
l’orbite ne doit pas rencontrer la planète (ellipse trop étroite, apogée ou
périgée dans le sol ou situés dans l’atmosphère).
Vitesse d’injection pour une orbite circulaire
Lorsque l’on choisit une distance
r au centre de la Terre constante, l'énergie potentielle est constante, de même que
l'énergie cinétique.
Bien entendu, la vitesse d'injection doit être choisie orthogonale au rayon
vecteur.
Cette situation correspond à une orbite
circulaire et l’on obtient la vitesse d’injection sur cette orbite
circulaire :
V² = M.G / r avec r :
rayon de l'orbite circulaire recherchée.
Le vecteur vitesse d'injection devant par ailleurs être orthogonal à la verticale du
lieu d’injection.
Numériquement :
A l’altitude de 0 km, on a r = 6 378
000 m
D’où V = 7 905 m.s-1 (irréalisable dans l’atmosphère)
A l’altitude de 800 km (altitude d'un
satellite LEO), on a :
r = 800 000 + 6 378 000 = 7 178 000 m
D’où V = 7 450 m.s-1
A l’altitude de 36000 km (orbite GEO),
on a : r = 36 000 000 + 6 378 000 = 42 378 000 m
D’où V = 3 067 m.s-1
Vitesse d'injection sur une orbite fermée :
soit v vitesse orthogonale à la verticale
du lieu d’injection, supposée inférieure à la vitesse de libération et Vsc la
vitesse correspondant à la trajectoire circulaire.
Trois cas se présentent :
- si v < Vsc : le point
de largage est l’apogée et v est la vitesse à l’apogée.
- si v = Vsc :
l’orbite est un cercle décrit à vitesse v constante. (v=V=constante).
- si v > Vsc : le point
de largage est le périgée et v est la vitesse au périgée.
| 2 ) Quitter la Terre
Vitesse de libération (deuxième
vitesse cosmique)
Lorsque l’on choisit "a"
infini dans la relation (3), le "satellite" s’est libéré de
l’attraction terrestre ; il n’est plus satellisé et il serait plus juste
de le rebaptiser sonde spatiale. On obtient ainsi la vitesse de libération pour une
distance r au centre de la Terre :
Vl² = 2.M.G / r
Aucune contrainte ne s’applique sur
l’angle d’inclinaison de Vl.
Toutefois pour des raisons de comparaison, nous choisirons sur le lieu du largage
une vitesse d’injection orthogonale à la verticale de ce lieu.
Numériquement,
- à l’altitude de 0 km, on a r = 6
378 000 m
D’où Vl = 11 180 m.s-1 (40 250 km.h-1 :
irréalisable pour une sonde dans l’atmosphère)
- à l’altitude de 800 km, on a r =
800 000 + 6 378 000 = 7 178 000 m
D’où Vl = 10 539 m.s-1 (37 940 km.h-1)
- à l’altitude de 36000 km, on a r =
36 000 000 + 6 378 000 = 42 378 000 m
D’où Vl = 4 337 m.s-1 (15 613 km.h-1).
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Calcul des trajectoires 
