La rhéologie est une branche de la physique qui étudie l’écoulement ou la déformation des corps sous l’effet des contraintes qui leur sont appliquées, compte tenu de la vitesse d’application de ces contraintes ou plus généralement de leur variation au cours du temps .

Les procédés de préparation de produits (solutions , pâtes , etc...)ou de formage de pièces ( en métallurgie , en plasturgie , etc ...) nécessitent immanquablement l’écoulement de la matière , il est donc nécessaire de connaître le comportement de cette matière pour déterminer les forces à mettre en jeu .

La rhéologie se décompose en plusieurs sortes d’études :

• rhéologie expérimentale : détermination expérimentale des relations de comportement (entre contraintes et déformation ou vitesse de déformation)
  
• rhéologie structurale : explication des comportements à partir de la structure du matériau
  
• rhéologie théorique : fournir des modèles mathématiques en nombre limité des comportements indépendamment de la structure microscopique

On considère l’expérience suivante où le mouvement de cisaillement que subit le fluide peut être considéré comme laminaire plan :

On tire sur la feuille d’aluminium afin que celle-ci soit animée de la vitesse vo .

On montre que vo augmente avec F , avec e et diminue avec S.

Que se passe-t-il au sein du fluide ?

• si vo n’est pas trop grande , les molécules de miel en contact avec l’aluminium sont entraînées par lui à la vitesse vo , en une couche mince .
• les forces de Van der Waals permettent de transférer une partie de l’énergie cinétique de cette couche aux molécules en dessous qui sont entraînées mais à une vitesse moindre : plus ces forces d’interactions sont fortes , plus le fluide est visqueux et plus la vitesse décroît vite quand on s’éloigne de la couche du dessus.
• le mouvement se propage en s’atténuant au sein du liquide : il est nul au contact de la plaque support qui est fixe.

Le gradient de vitesse va traduire l’évolution de la vitesse au sein du fluide :

unité : en s^-1

Cette grandeur dépend de la contrainte de cisaillement appliquée et de la nature du fluide .

où r est la masse volumique du fluide .

Unité dans le système international : Pa.s.kg^-1.m³ .

On montre que c’est aussi le m².s^-1.

Unité usuelle : 1 stoke =10^-4 m².s^-1 ou son sous-multiple , le centistoke .

Cette dernière unité est pratique pour des fluides de viscosités proches de celle de l’eau qui a une viscosité de 1 centistoke .

Remarque : il existe d’autres façons d’exprimer la viscosité .Par exemple en Degré Engler (sans dimension) : c’est le rapport n / n _eau = t / teau où t et t_eau sont des temps d’écoulement du fluide et de l’eau respectivement mesurés dans les mêmes conditions expérimentales .

Valeurs de viscosités à 20°C et 1 bar

Remarque : la viscosité est liée aux interactions de Van der Waals existant au sein des fluides .

Ainsi , comparons l’eau et l’hexane , qui ont des volumes moléculaires similaires : on sait que l’eau présente des interactions moléculaires fortes ( liaisons hydrogènes ) alors que pour l’hexane elles sont très faibles .On observe effectivement que la viscosité de l’hexane est beaucoup plus faible que celle de l’eau.

• pour les liquides : son influence est négligeable.
• pour les gaz : si la pression augmente , il y a plus de frottements au sein du fluide , la viscosité augmente un peu.

exemple : air à 20 °C : m = 1.72.10^-5 Pa.s sous 1 atm

m = 1.82.10^-5 Pa.s sous 20 atm

1. Pour les gaz :

La viscosité augmente un peu avec la température .

Exemple : air sous 1 atm :

m = 1.72.10^-5 Pa.s à 20 °C

m = 2.29.10^-5 Pa.s à 100°C

2. Pour les liquides :

La viscosité peut varier beaucoup avec la température ( de l’ordre de 0.5 à 10 % par °C !)

Pour les liquides purs comme l’eau , l’huile , l’alcool , …) on montre qu’elle suit une loi exponentielle croissante : m = A exp ( B / T) (voir TP )

Exemples :

• eau : m = 1,008.10^-3 Pa.s à 20°C

m = 0,660.10^-3 Pa.s à 40°C

• miel : si on augmente la température de 1°C , la viscosité est divisée par 10

Expérimentalement , il est donc très important de régulée la température lorsqu’on veut faire une mesure précise de viscosité .La plupart des appareils permettent de travailler à 0.01°C près .

Ce sont des courbes qui traduiront le comportement mécanique des fluides sous l’effet de cisaillements .

Le comportement d’un fluide peut être différent si on change la façon de le cisailler ( si la contrainte appliquée varie , il peut en son sein se déformer différemment , sa viscosité peut donc varier ).

Les relations entre contrainte de cisaillement , vitesse de cisaillement , viscosité sont donc autant de fonctions d’état du fluide .

Exemples :

t = f ( E )

m = f ( E )

Leur représentation graphique est appelée rhéogramme .

Elles sont déterminées grâce à des rhéomètres.

La substance étudiée y est cisaillée entre deux surfaces solides , l’une au repos et l’autre mobile ou bien le cisaillement est obtenu par application d’une pression motrice dans un tube d’écoulement .

Remarque :

Dans beaucoup de rhéomètres , les surfaces sont cylindriques et non pas planes comme dans l’exemple dont nous sommes partis .Le mouvement n’est plus laminaire plan .

Ceci modifie un peu les relations précédentes , à savoir :

• le gradient de vitesse est dv / dr = d ( w r ) /dr = w + r dw /dr
  (w est la vitesse angulaire d’une nappe de fluide à la distance r de l’axe de rotation )
• la déformation de cisaillement E = r d a / d r
  (a est l’angle qu’a parcouru un point d’un nappe située à une distance r quand il s’est écoulé un instant t depuis le début du cisaillement)
• la vitesse de déformation E = d/dt (E ) = r d/dr (d a / d t )= r dw /dr

Il n’y a donc plus identification entre la vitesse de déformation et le gradient de vitesse.

Ils sont caractérisés par une contrainte de cisaillement seuil t c en dessous de laquelle l’écoulement n’est pas possible .Autrement dit , lorsqu’il sont soumis à une contrainte très faible , leur viscosité est tellement forte qu’il ne peuvent pas s’écouler .

Leur viscosité diminue ensuite si une contrainte supérieure au seuil est appliquée.

Exemple :

Les peintures " qui ne coulent pas " en sont un exemple caractéristique :

• sous l’effet de leur propre poids lorsqu’elles ont été appliquées , la contrainte est en dessous du seuil d’écoulement , elles sont suffisamment visqueuses pour ne pas couler.
• lorsqu’on les applique , la contrainte que l’on exerce avec le pinceau est supérieure au seuil d’écoulement  , la peinture est assez fluide pour pouvoir être étalée sans problème .

C’est aussi le cas de la bentonite ( voir TP)

Ce comportement est généralement lié à l’existence d’une structure tridimensionnelle assez rigide, qui ne se rompt que si on exerce une force assez grande .

Certains de ces produits peuvent être modélisés par une loi du type :

dite loi de Bingham .Leur rhéogramme est alors linéaire .

Lorsqu’on introduit un soluté dans un solvant , les interactions moléculaires augmentent et la viscosité également.

Afin de différencier les influences du soluté (ou de la phase dispersée ) et du solvant , on définit quelques termes :

C’est une caractéristique de la nature de la solution

où K est une constante pour un couple polymère /solvant donné.

Soit un capillaire de rayon R , de longueur L.

Le liquide peut s’écouler grâce à une pression motrice P1-P2 = D P .

On supposera que le régime d’écoulement est laminaire ( vrai si l’écoulement est suffisamment lent , nombre de Reynolds < 2000 )

Dès qu’il se met en mouvement , des forces de frottement apparaissent et augmente jusqu’à ce qu’on atteigne le régime permanent pour lequel les forces de frottement compensent exactement les forces de pression , la vitesse d’écoulement est alors constante .

La portion cylindrique de liquide de rayon r est soumise aux forces :

• de pression : F1 = P1.S = P1 p r² et F2 = P2 p r²

• de frottement visqueux : Ft = S dFt = t .S’ = t 2p r L

En régime permanent :

F1 = F2 + Ft

• D P . p . r² = t . 2p .L or t = m .E et E = -dv/dr ici ( v augmente si r diminue )
• dv/dr = - D P r /2Lm

Cherchons la vitesse à la distance r :

Calcul du débit du capillaire :

La vitesse du fluide est la même à une distance r du centre du capillaire.

Considérons un volume de fluide infinitésimal distant de r du centre d’épaisseur dr de forme cylindrique : dV = 2p r L dr

Il s’écoule du capillaire en un instant t tel que v = L/t donc dV = 2p r v t dr

Le débit volumique total du capillaire est la somme de tous ces volumes élémentaires divisée par t soit :

C’est la loi d’écoulement de Poiseuille :

Si la pression motrice est la pesanteur ( capillaire vertical et ouvert à l’atmosphère en haut et en bas) alors : D P = r g L et la loi s’écrit :

Pour les liquides newtoniens de faible viscosité , on mesure le temps d’écoulement d’un volume déterminé de fluide .

Dv = V / t = p R⁴ r g / (8 m ) et comme r / m = n , la viscosité cinématique

• n = K t où K = = p R⁴ g / (8 V ) est une constante déterminée.

C’est donc la viscosité cinématique que l’on mesure à condition toutefois pour que le régime d’écoulement soit laminaire , c’est à dire lent..

On lâche une bille ( masse volumique r s, rayon R )dans un liquide visqueux ( viscosité m , masse volumique r ): elle chute sous l’effet combiné :

La force de frottement apparaît lorsqu’il y a mouvement et augmente jusqu’à ce qu’on atteigne une vitesse limite v_lim pour laquelle la force de frottement et la Poussée d’Archimède compensent exactement la force de pesanteur :

• S F = 0

• (r s - r )(4/3 p R³ ) g = 6p R m v_lim
• m = 2/9 g/ v_lim R² (r s - r )

On mesure donc v_lim et r pour déterminer la viscosité dynamique .

Un rhéomètre permet d’accéder à la connaissance de la contrainte de cisaillement et à la vitesse de déformation au sein d’un échantillon ceci grâce à d’autres grandeurs directement mesurables .

• la contrainte de cisaillement t est calculée à partir du moment du couple appliqué pour avoir rotation
  

Le moment des forces de frottement Ft qui s’exercent à la surface du mobile en rotation est :

M Ft / D = Ft . R1 = t 2p R1 H =M _résistant

Pour continuer à faire tourner le mobile à vitesse constante , il faut que le moteur exerce un moment qui le compense : M _résistant = M _moteur = M

donc t = M / ( 2p R1 H )

• la vitesse de déformation E est calculée à partir de la vitesse de rotation du mobile

• = r dw /dr

Pour les rhéomètre qui ont un entrefer petit R1 » R2 , on peut considérer que

E = r ½ dw /dr ½ » R1 D w / D r » R1 ( w o – 0 )/ (R2 –R1) = R1w o / )/ (R2 –R1)

On a donc t proportionnel à au moment M et E proportionnel à la vitesse de rotation.

Remarque :

Si l’entrefer entre le cylindre et le contenant n’est pas petit , ces relations simples ne sont plus vérifiées et la détermination de E est beaucoup plus délicate.

Un cône d’angle Y très faible ( < 5° ) est en rotation dans un peu de fluide contenu dans une coupelle (appelée plateau ) .Leur écartement est très faible.

Ce dispositif permet d’avoir :

t = 3 M / ( 2p R³ )

E = w o / Y